Análisis en bandas de octava: la justificación matemática y de ingeniería

El análisis en bandas de octava convierte espectros detallados en bandas estandarizadas de 1/1 y 1/3 de octava utilizando un ancho de banda de porcentaje constante en un eje de frecuencia logarítmico. En esta entrada explicamos la base matemática del CPB, por qué IEC 61260-1 y ANSI S1.11 definen las bandas de octava como lo hacen y cómo se calculan en la práctica los niveles de banda (agrupación de FFT frente a RMS con banco de filtros). El objetivo: obtener resultados repetibles y comparables para acústica, NVH y mediciones de conformidad normativa.

¿Qué es el análisis en bandas de octava y qué problema resuelve?

El análisis en bandas de octava es una familia de métodos de análisis de espectros que divide el eje de frecuencia en una escala logarítmica en bandas pasa‑banda. Cada banda tiene una relación constante entre sus frecuencias de corte superior e inferior (ancho de banda de porcentaje constante, CPB). Dentro de cada banda ignoramos los detalles finos del espectro de líneas y nos centramos en la energía total / RMS (o potencia) en esa banda.

En otras palabras, no es «qué ocurre en cada 1 Hz», sino «cómo se distribuye la energía a través de anchos de banda relativos iguales».

Esta representación se ajusta de forma natural a la audición humana y a muchos sistemas de ingeniería, cuya resolución en frecuencia suele estar más cerca de una escala relativa (logarítmica) que de una escala fija en Hz.

• Es un formato de informe común exigido por muchas normas: parámetros de acústica de salas, índices de aislamiento acústico, ruido ambiental, ruido de maquinaria, ruido de viento/carretera, etc., que a menudo utilizan bandas de 1/3 de octava.

De Hz lineales a frecuencia logarítmica: por qué el CPB se parece más a un lenguaje de ingeniería

Utilizar contenedores de frecuencia de igual ancho (por ejemplo, cada 10 Hz) para acumular energía conduce a un comportamiento incoherente a lo largo del espectro:

• A bajas frecuencias, un contenedor de 10 Hz puede ser demasiado ancho y emborronar detalles.
• A altas frecuencias, un contenedor de 10 Hz puede ser demasiado estrecho, lo que da lugar a mayor varianza y estimaciones menos estables para ruido aleatorio.

En cambio, el ancho de banda CPB crece con la frecuencia (Δf ∝ f). Cada banda cubre un cambio relativo similar, lo que mejora la estabilidad y la repetibilidad-algo importante para los ensayos normalizados.

Una intuición visual: el ancho de banda aumenta en un eje lineal, pero es uniforme en un eje logarítmico

Figura 1: las mismas bandas de 1/3 de octava representadas en un eje de frecuencia lineal-el ancho de banda parece mayor a altas frecuencias

Cada segmento horizontal representa una banda de 1/3 de octava [f1, f2]; la pequeña marca vertical es la frecuencia central de la banda fm. En un eje lineal, las bandas de frecuencia más alta parecen más anchas.

Figura 2: las mismas bandas en un eje de frecuencia logarítmico-las bandas pasan a estar espaciadas uniformemente (la esencia del CPB)

Una vez que el eje horizontal es logarítmico, estas bandas parecen de igual ancho/igual espaciamiento; esto es exactamente lo que significa «ancho de banda de porcentaje constante».

Estas dos figuras capturan la idea central: el análisis en bandas de octava utiliza pasos iguales en una escala de frecuencia logarítmica, no pasos iguales en Hz.

Normas y terminología: ¿qué especifican realmente los sistemas IEC/ANSI/ISO?

En la práctica, «hacer análisis de 1/3 de octava» está limitado por algo más que los bordes de banda. Las normas especifican (o implican de forma clara): cómo se definen las frecuencias centrales (exactas frente a nominales), la definición de la relación de octava (base 10 frente a base 2), las tolerancias/clases de filtros e incluso las convenciones de medida/promediado que se utilizan para formar los niveles de banda.

Aspectos destacados de IEC 61260-1:2014: relación en base 10, frecuencia de referencia y fórmulas de frecuencia central

IEC 61260-1:2014 es una especificación clave para filtros de banda de octava y fracciones de octava. Adopta un diseño en base 10: la relación de frecuencias de una octava es G = 10^(3/10) ≈ 1,99526 (muy cercana a 2, pero no exactamente 2). La frecuencia de referencia es fr = 1000 Hz. Proporciona fórmulas para las frecuencias exactas de banda media (centrales) y especifica que la media geométrica de las frecuencias de los bordes de banda es igual a la frecuencia central. [1]

Fórmulas clave (reordenadas a partir de la norma): [1]

Si el denominador fraccionario b es impar (p. ej., 1, 3, 5, ...):

Si b es par (p. ej., 2, 4, 6, ...):

Y siempre:

¿Por qué el caso con b par parece «desplazado medio paso»? Intuitivamente, la rejilla de frecuencias centrales está uniformemente espaciada en log(f). Cuando b es par, IEC elige un desplazamiento de medio paso respecto a fr para que los bordes de banda se alineen de forma más limpia con las convenciones habituales de informe. En la práctica, una implementación robusta consiste en generar la secuencia exacta de fm utilizando la fórmula de la norma, luego calcular los bordes mediante f1 = fm / G^(1/(2b)) y f2 = fm * G^(1/(2b)), y solo entonces etiquetar las bandas con las frecuencias nominales habituales.

Ver los datos con OpenTest (análisis en bandas de octava según IEC 61260-1) ->

Bordes de banda, frecuencia central y el designador de ancho de banda b

Las normas suelen utilizar 1/b como «designador de ancho de banda»: 1/1 es una octava, 1/3 es un tercio de octava, etc. [1] Una vez que se eligen (G, b, fr), todo el conjunto de bandas (centrales y bordes) queda fijado matemáticamente.

Exacta frente a nominal: por qué aparecen dos «frecuencias centrales» para la misma banda

Las frecuencias centrales «exactas» se utilizan para definiciones matemáticamente coherentes y el diseño de filtros; los valores «nominales» se utilizan para el etiquetado y la elaboración de informes. [1] ISO 266:1997 define frecuencias preferidas para mediciones acústicas basadas en la serie de números preferidos ISO 3 (R10), referida a 1000 Hz. [2]

Como resultado, la secuencia geométrica exacta suele etiquetarse con valores nominales conocidos como:

20, 25, 31,5, 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, ..., 1k, 1,25k, 1,6k, 2k, 2,5k, 3,15k, ..., 20k.

Consejo de implementación: calcule los bordes a partir de las frecuencias exactas; solo redondee/muestre como nominales. Esto evita desviarse de la norma.

Base 10 frente a base 2: por qué las normas no exigen una octava exactamente 2:1

Aunque a menudo se piensa que «octava» es 2:1, IEC 61260-1 especifica base 10 (G=10^(3/10)) en lugar de G=2. Las motivaciones clave incluyen:

• Alineación con la serie decimal de números preferidos (ISO 266 está vinculada a R10). [2]
• Coherencia internacional: IEC 61260-1:2014 especifica base 10 y señala que los diseños en base 2 tienen menos probabilidades de seguir siendo conformes lejos de la frecuencia de referencia. [1]

En base 10, un tercio de octava corresponde a 10^(1/10) ≈ 1,258925 (también interpretable como 1/10 de década), lo que produce una correspondencia limpia: 10 bandas de un tercio de octava por década.

«10 bandas de un tercio de octava = 1 década»: por qué esto importa

Con espaciamiento de un tercio de octava en base 10, cada paso multiplica la frecuencia por r = 10^(1/10). Por tanto:

• 10 bandas consecutivas de 1/3 de octava multiplican la frecuencia exactamente por 10 (una década).
• Esto coincide con las convenciones ISO 266/R10 y simplifica las tablas, la representación gráfica y la comunicación.
• La normalización valora la legibilidad y la coherencia tanto como la pureza matemática.

Figura 3: espaciamiento de un tercio de octava en base 10-10 pasos de relación iguales por década (×10 en frecuencia)

ANSI S1.11 / ANSI/ASA S1.11: clases de tolerancia y una advertencia sobre señales transitorias

ANSI S1.11 (y las adopciones posteriores ANSI/ASA alineadas con IEC 61260-1) especifican requisitos de desempeño para conjuntos de filtros y analizadores, incluidas las clases de tolerancia (a menudo clase 0/1/2 según la edición). [3][4]

Una advertencia práctica en los documentos ANSI: para señales transitorias, distintas implementaciones conformes pueden producir resultados diferentes. [3] Esto pone de relieve que la respuesta temporal (retardo de grupo, oscilación, constantes de tiempo de promediado) importa para el análisis de transitorios.

¿Qué controlan realmente la clase, la máscara y el ancho de banda efectivo?

«Usé bandas de 1/3 de octava» no se refiere solo a bordes de banda nominales. Las normas buscan garantizar que distintos instrumentos/algoritmos produzcan resultados comparables limitando:

• Espaciamiento en frecuencia: secuencia de frecuencias centrales y definiciones de bordes (base 10, exacta/nominal, f1/f2).
• Tolerancia de la respuesta en magnitud (máscara): ondulación admisible cerca de la banda de paso y atenuación requerida lejos de la frecuencia central.
• Coherencia de energía para ruido de banda ancha: restricciones sobre el ancho de banda efectivo para que los niveles de banda sean comparables entre implementaciones.

El ancho de banda efectivo importa porque los filtros reales no son muros de ladrillo ideales. Para ruido de banda ancha, la energía de salida depende de ∫|H(f)|^2 S(f)df. Las diferencias en la ondulación de la banda de paso, las colas y el factor de caída pueden causar desviaciones sistemáticas. Las normas limitan el ancho de banda efectivo para mantener dichas desviaciones dentro de límites aceptables. [1][3][4]

La advertencia sobre transitorios no es una contradicción: las máscaras limitan principalmente el comportamiento de estado estacionario en el dominio de la frecuencia, mientras que los transitorios dependen de la fase/retardo de grupo, la oscilación y el promediado temporal. [3]

Matemáticas: definiciones de banda, ancho de banda, Q e indexación de bandas

CPB y espaciamiento uniforme en un eje logarítmico

CPB es equivalente a un espaciamiento de igual ancho en frecuencia logarítmica. Si u = log(f), entonces cada banda abarca un Δu fijo. Muchos espectros (por ejemplo, de tipo 1/f) parecen más suaves y estadísticamente más estables en frecuencia logarítmica.

Fórmulas de bordes de banda a partir de la definición de media geométrica (forma general 1/b)

IEC define la frecuencia central como la media geométrica de los bordes: fm = sqrt(f1 f2). [1] Para bandas de 1/b de octava, la relación de bordes suele ser f2/f1 = G^(1/b), donde G es la relación de octava. Entonces:

Para un tercio de octava en base 10 (b=3): G=10^(3/10). La relación entre frecuencias centrales adyacentes es r = G^(1/3) = 10^(1/10) ≈ 1,258925; el factor multiplicador de los bordes es k = 10^(1/20) ≈ 1,122018.

Factor de calidad Q y resolución: el análisis en bandas de octava es un análisis de Q constante

Defina Q = fm / (f2 − f1). Para bandas CPB, Δf = f2 − f1 escala con fm, por lo que Q solo depende de b y G (no de la frecuencia).

Referencia rápida (base 10, fr=1000 Hz):

Fracción de octava	Relación de banda f2/f1	Ancho de banda relativo Δf/fm	Q = fm/Δf
1/1	1.995262	0.704592	1.419
1/2	1.412538	0.347107	2.881
1/3	1.258925	0.230768	4.333
1/6	1.122018	0.115193	8.681
1/12	1.059254	0.057573	17.369

Interpretación: para 1/3 de octava, Q≈4,33 y cada banda tiene un ancho aproximado del 23 % respecto a su frecuencia central. Bandas más finas (1/6, 1/12) proporcionan mayor resolución pero mayor varianza para ruido aleatorio y suelen requerir promedios más largos.

Numeración de bandas (índice entero) y enumeración mediante fórmulas

Las implementaciones suelen utilizar un índice entero de banda x. En IEC, x aparece directamente en la fórmula de la frecuencia central: fm = fr * G^(x/b). [1] Esto proporciona una forma estable de enumerar todas las bandas que cubren un rango de frecuencias objetivo y garantiza bordes contiguos y coherentes con la norma.

Para base 10:

por lo que

y se puede invertir como

Figura 4: factor Q para anchos de banda de fracción de octava habituales (definición en base 10)

Dos significados de «1/3 de octava»: base 2 frente a base 10-no los mezcle

Parte de la literatura utiliza base 2: las frecuencias centrales adyacentes son 2^(1/3). IEC 61260-1 y gran parte de la práctica acústica moderna utilizan base 10: las frecuencias centrales adyacentes son 10^(1/10). Una comprobación rápida: si las frecuencias centrales nominales se parecen a 1,0k → 1,25k → 1,6k → 2,0k (estilo R10), probablemente sea base 10.

Definición matemática de los niveles de banda: de la integración de la PSD a la presentación en dB

Vista en frecuencia continua: integrar la PSD dentro de la banda

El nivel en bandas de octava es, esencialmente, la integral de la densidad espectral de potencia sobre una banda de frecuencia. Para la presión sonora p(t):

Para vibración (velocidad/aceleración) se aplica la misma lógica con diferentes unidades y magnitudes de referencia.

Punto clave: dado que el dB es logarítmico, cualquier suma o promedio debe realizarse primero en el dominio lineal de potencia/media cuadrática.

Dos implementaciones discretas: RMS con banco de filtros frente a agrupación FFT/PSD

Método de banco de filtros: y_b(t)=BandPass_b{x(t)}, luego se calcula mean(y_b^2) como media cuadrática de banda (opcionalmente con promediado temporal).

Método de agrupación FFT/PSD: se estima S_pp(f) (por ejemplo, mediante periodograma/Welch) y luego se integran/suman numéricamente los contenedores dentro de [f1,f2].

Para señales largas y estacionarias, los resultados promediados pueden ser muy similares. Para transitorios, barridos y eventos cortos, a menudo difieren.

Sea explícito sobre el tipo de espectro que tiene: magnitud, potencia, PSD (y dB/Hz)

• Espectro de magnitud |X(f)|: unidades de amplitud (por ejemplo, Pa), útil para tonos/armónicos.
• Espectro de potencia |X(f)|²: unidades de media cuadrática (Pa²).
• Densidad espectral de potencia (PSD): media cuadrática por Hz (Pa²/Hz), lo más habitual para ruido.

Dado que los niveles en bandas de octava representan la media cuadrática/potencia de banda, en última instancia debe integrar/sumar en Pa² (o equivalente), independientemente de la representación de partida.

Resolución en frecuencia y espectros de un solo lado: Δf, 0..fs/2 y la regla de «×2»

El espaciamiento entre contenedores de la FFT es Δf = fs/N. Una aproximación discreta típica es:

Si utiliza un espectro de un solo lado (0..fs/2), para conservar la energía normalmente multiplica todos los contenedores que no sean DC ni Nyquist por 2 (porque la potencia de frecuencia negativa se pliega en el lado positivo). Los distintos programas manejan estas convenciones de forma diferente, así que alinee las definiciones antes de comparar resultados.

Correcciones de ventana: la ganancia coherente (tonos) y la ENBW (ruido) son diferentes

El uso de ventanas reduce la fuga espectral pero cambia la escala:

• Para amplitud de tonos: corregir mediante la ganancia coherente (CG), a menudo CG = sum(w)/N.
• Para ruido/PSD de banda ancha: corregir mediante el ancho de banda equivalente de ruido (ENBW), por ejemplo, ENBW = fs·sum(w²)/(sum(w))². [9]

La CG controla la amplitud de pico; la ENBW controla el área media del piso de ruido. Los niveles en bandas de octava son estadísticas de energía y son más sensibles a la ENBW.

Ventana	Ganancia coherente (CG)	ENBW (contenedores)
Rectangular	1.000	1.000
Hann	0.500	1.500
Hamming	0.540	1.363
Blackman	0.420	1.727

Ponderación parcial de contenedores: qué hacer cuando los bordes de banda no se alinean con los contenedores de la FFT

Los bordes de banda rara vez coinciden exactamente con las frecuencias de los contenedores. Trate la PSD como aproximadamente constante dentro de cada contenedor de ancho Δf y pondere los contenedores de borde según su fracción de solapamiento:

Esto produce niveles de banda más suaves y físicamente más coherentes cuando cambian N o los bordes de banda.

Figura 5: esquema de ponderación parcial de contenedores cuando los bordes de banda no se alinean con los contenedores de la FFT

Una fórmula unificadora: ambos métodos calculan ∫|H_b(f)|² S_xx(f) df

Tanto el banco de filtros como la agrupación de PSD pueden escribirse como:

La agrupación tipo «muro de ladrillo» corresponde a |H_b|² igual a 1 dentro de [f1,f2] y 0 fuera. Un filtro realmente conforme a la norma tiene roll-off y ondulación, por lo que las normas limitan las máscaras y el ancho de banda efectivo.

Agregación de bandas: componer 1 octava a partir de 1/3 de octava y formar niveles totales

Bajo una partición y contabilización de energía ideales:

• Tres bandas adyacentes de 1/3 de octava pueden combinarse para aproximar una banda de una octava completa.
• La suma de todas las energías de banda sobre un rango cubierto da la energía total.

Combine siempre en el dominio de la energía.

Si L_i son niveles de banda en dB, las energías son E_i = 10^(L_i/10). Entonces:

IEC 61260-1 indica que los resultados de fracciones de octava pueden combinarse para formar niveles de banda más anchos. [1]

Ancho de banda efectivo: por qué las normas lo especifican

Los filtros reales no son rectángulos ideales. Para ruido blanco (PSD constante S0), la media cuadrática de salida es:

Para espectros no blancos como el ruido rosa (PSD ~ 1/f), las normas pueden definir un ancho de banda efectivo normalizado con ponderación para mantener la comparabilidad entre espectros de ruido típicos de ingeniería. [1]

Implicación práctica: la «agrupación rígida» mediante FFT supone implícitamente un filtro tipo muro de ladrillo con B_eff = (f2 − f1). Un filtro de octava conforme tiene colas (skirts), por lo que B_eff puede diferir ligeramente y según la clase. Para igualar resultados, aproxime la |H(f)|² de la norma en el dominio de la frecuencia o documente la diferencia metodológica.

Por qué se favorece 1/3 de octava (matemática + percepción + compromisos de ingeniería)

La densidad de información es «justa»: más fina que 1 octava y más estable que fracciones muy finas

Una única banda de octava puede ser demasiado gruesa y ocultar la forma espectral; fracciones muy finas (p. ej., 1/12, 1/24) pueden ser inestables y costosas:

• Mayor varianza del estimador para ruido aleatorio (cada banda captura menos energía).
• Más cómputo y mayor carga de presentación de resultados.
• A menudo proporcionan más detalle del que necesitan las normativas o los esquemas de calificación.

Un tercio de octava es el compromiso clásico: suficiente resolución para obtener información de ingeniería, estabilidad suficiente para mediciones normalizadas y amplio soporte en instrumentos y software.

Psicoacústica: las bandas críticas en frecuencias medias son cercanas a 1/3 de octava

Muchas referencias de psicoacústica describen ~24 bandas críticas a lo largo del rango audible y, en la región de frecuencias medias, el ancho de banda crítico suele ser similar al ancho de banda de 1/3 de octava. [7][8] Esto hace que 1/3 de octava sea una representación intermedia natural para problemas relacionados con el sonido percibido, y al mismo tiempo más normalizada que las escalas Bark/ERB.

Impulso directo de las normas/aplicaciones: muchos flujos de trabajo exigen E/S en 1/3 de octava

Una vez que las principales normas definen entradas/salidas en 1/3 de octava, los ecosistemas (instrumentos, software, plantillas de informes) convergen en torno a ello. Ejemplos:

• Índices de acústica de edificios: ISO 717-1 hace referencia a bandas de un tercio de octava para los cálculos de magnitudes de un solo número. [5]
• Los parámetros de acústica de salas (por ejemplo, tiempo de reverberación) se suelen presentar en bandas de octava y de un tercio de octava (serie ISO 3382). [6]

Beneficios adicionales de la base 10: tablas R10, 10 bandas/década, legibilidad

• 10 bandas por década: multiplicar la frecuencia por 10 corresponde exactamente a 10 pasos de un tercio de octava (muy limpio para representaciones logarítmicas).
• Números preferidos R10: 1,00, 1,25, 1,60, 2,00, 2,50, 3,15, 4,00, 5,00, 6,30, 8,00 (×10^n) son ampliamente reconocidos y fáciles de comunicar.
• En comparación con la base 2, el etiquetado decimal es menos engorroso y se reduce la ambigüedad entre normas.

El análisis en bandas de octava se implementa normalmente utilizando agrupación FFT o un banco de filtros. Siga leyendo -> Guía de análisis en bandas de octava: agrupación FFT frente a banco de filtros

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Referencias

[1] Muestra en PDF de IEC 61260-1:2014 (iTeh): https://cdn.standards.iteh.ai/samples/13383/3c4ae3e762b540cc8111744cb8f0ae8e/IEC-61260-1-2014.pdf

[2] ISO 266:1997, Acústica - Frecuencias preferidas (ISO): https://www.iso.org/obp/ui/

[3] Vista previa en PDF de ANSI S1.11-2004 (ASA/ANSI): https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BS1.11-2004.pdf

[4] Vista previa de ANSI/ASA S1.11-2014/Parte 1 / IEC 61260-1:2014: https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BASA%2BS1.11-2014%2BPart%2B1%2BIEC%2B61260-1-2014%2B%28R2019%29.pdf

[5] Resumen de ISO 717-1:2020 (menciona el uso de bandas de un tercio de octava): https://www.iso.org/standard/77435.html

[6] Resumen de ISO 3382-2:2008 (parámetros de acústica de salas): https://www.iso.org/standard/36201.html

[7] Ayuda de Ansys: escala Bark y bandas críticas (menciona que la gama media es cercana a un tercio de octava): https://ansyshelp.ansys.com/public/Views/Secured/corp/v252/en/Sound_SAS_UG/Sound/UG_SAS/bark_scale_and_critical_bands_179506.html

[8] Simon Fraser University, Sonic Studio Handbook: Critical Band and Critical Bandwidth: https://www.sfu.ca/sonic-studio-webdav/cmns/Handbook5/handbook/Critical_Band.html

[9] MathWorks: ejemplo de definición de ENBW: https://www.mathworks.com/help/signal/ref/enbw.html