Análise por Bandas de Oitava: A Fundamentação Matemática e de Engenharia

A análise por bandas de oitava converte espectros detalhados em bandas normalizadas de oitava inteira 1/1 e de terço de oitava 1/3, usando larguras de banda de percentagem constante num eixo de frequência logarítmico. Neste artigo, explicamos a base matemática da CPB, porque é que a IEC 61260-1 e a ANSI S1.11 definem as bandas de oitava da forma como o fazem e como os níveis de banda são calculados na prática (agregação de bins de FFT vs. RMS de banco de filtros). O objetivo: resultados repetíveis e comparáveis para acústica, NVH e medições de conformidade.

O que é a análise por bandas de oitava e que problema ela resolve?

A análise por bandas de oitava é uma família de métodos de análise espectral que dividem o eixo de frequência numa escala logarítmica em bandas passa‑banda. Cada banda tem uma razão constante entre as suas frequências de corte superior e inferior (largura de banda de percentagem constante, CPB). Dentro de cada banda ignoramos os detalhes finos de linhas espectrais e focamo-nos na energia total / RMS (ou potência) nessa banda.

Em outras palavras, não é "o que acontece a cada 1 Hz", mas "como a energia é distribuída por larguras de banda relativas iguais".

Esta representação corresponde naturalmente à audição humana e a muitos sistemas de engenharia, cuja resolução em frequência está muitas vezes mais próxima de uma escala relativa (log) do que de uma escala fixa em Hz.

• É um formato de relatório comum exigido por muitas normas: parâmetros de acústica de salas, índices de isolamento sonoro, ruído ambiental, ruído de maquinaria, ruído de vento/rodagem, etc., que frequentemente recorrem a bandas de 1/3 de oitava.

Do Hz linear à frequência logarítmica: porque é que a CPB se parece mais com uma linguagem de engenharia

Usar bins de frequência de largura constante (por exemplo, cada 10 Hz) para acumular energia conduz a um comportamento inconsistente ao longo do espectro:

• Em frequências baixas, um bin de 10 Hz pode ser demasiado largo e esbater detalhes.
• Em frequências altas, um bin de 10 Hz pode ser demasiado estreito, originando maior variância e estimativas menos estáveis para ruído aleatório.

Em contraste, a largura de banda CPB cresce com a frequência (Δf ∝ f). Cada banda cobre uma variação relativa semelhante, melhorando a estabilidade e repetibilidade - algo importante para ensaios normalizados.

Uma intuição visual: a largura de banda aumenta num eixo linear, mas é uniforme num eixo logarítmico

Figura 1: as mesmas bandas de 1/3 de oitava representadas num eixo de frequência linear - a largura de banda parece maior em frequências elevadas

Cada segmento horizontal representa uma banda de 1/3 de oitava [f1, f2]; a pequena marca vertical é a frequência central da banda fm. Num eixo linear, as bandas de frequência mais alta parecem mais largas.

Figura 2: as mesmas bandas num eixo de frequência logarítmico - as bandas tornam‑se espaçadas de forma uniforme (a essência da CPB)

Quando o eixo horizontal é logarítmico, estas bandas parecem ter largura e espaçamento iguais; é exatamente isso que "largura de banda de percentagem constante" significa.

Estas duas figuras captam a ideia central: a análise por bandas de oitava usa passos iguais numa escala de frequência logarítmica, não passos iguais em Hz.

Normas e terminologia: o que é que os sistemas IEC/ANSI/ISO especificam realmente?

Na prática, "fazer análise em bandas de 1/3 de oitava" é condicionado por mais do que apenas os limites das bandas. As normas especificam (ou implicam fortemente): como as frequências centrais são definidas (exatas vs. nominais), a definição da razão de oitava (base 10 vs. base 2), as tolerâncias/classes de filtros e até as convenções de medição/média usadas para formar os níveis de banda.

IEC 61260-1:2014 - destaques: razão em base 10, frequência de referência e fórmulas de frequência central

A IEC 61260-1:2014 é uma especificação chave para filtros de bandas de oitava e de fração de oitava. Adota um projeto em base 10: a razão de frequência entre oitavas é G = 10^(3/10) ≈ 1,99526 (muito próxima de 2, mas não exatamente 2). A frequência de referência é fr = 1000 Hz. Fornece fórmulas para as frequências exatas de banda média (centro) e especifica que a média geométrica das frequências de borda da banda é igual à frequência central. [1]

Fórmulas principais (reorganizadas a partir da norma): [1]

Se o denominador fracionário b for ímpar (por exemplo, 1, 3, 5, ...):

Se b for par (por exemplo, 2, 4, 6, ...):

E em todos os casos:

Porque é que o caso de b par parece "deslocado a meio passo"? De forma intuitiva, a grelha de frequências centrais é igualmente espaçada em log(f). Quando b é par, a IEC escolhe um desvio de meio passo em relação a fr para que as bordas das bandas se alinhem de forma mais limpa com as convenções de relatório mais comuns. Na prática, uma implementação robusta consiste em gerar a sequência exata de fm usando a fórmula da norma, depois calcular as bordas via f1 = fm / G^(1/(2b)) e f2 = fm * G^(1/(2b)), e só então rotular as bandas com as frequências nominais usuais.

Visualize os dados com o OpenTest (Análise por Bandas de Oitava segundo a IEC 61260-1) ->

Bordas de banda, frequência central e o designador de largura de banda b

As normas utilizam frequentemente 1/b como "designador de largura de banda": 1/1 é uma oitava, 1/3 é um terço de oitava, etc. [1] Uma vez escolhidos (G, b, fr), o conjunto completo de bandas (centros e bordas) fica matematicamente fixado.

Exata vs. nominal: porque é que aparecem duas "frequências centrais" para a mesma banda

As frequências centrais "exatas" são usadas para definições matematicamente consistentes e projeto de filtros; os valores "nominais" são usados para rotulagem e relatório. [1] A ISO 266:1997 define frequências preferenciais para medições acústicas com base na série de números preferenciais ISO 3 (R10), referenciada a 1000 Hz. [2]

Como resultado, a sequência geométrica exata é tipicamente rotulada com valores nominais familiares, tais como:

20, 25, 31,5, 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, ..., 1k, 1,25k, 1,6k, 2k, 2,5k, 3,15k, ..., 20k.

Sugestão de implementação: calcule as bordas a partir das frequências exatas; apenas arredonde/exiba como nominais. Isto evita desviar‑se da norma.

Base 10 vs. base 2: porque é que as normas não insistem numa oitava exatamente 2:1

Embora "oitava" seja frequentemente entendida como 2:1, a IEC 61260-1 especifica base 10 (G=10^(3/10)) em vez de G=2. As motivações principais incluem:

• Alinhamento com as séries decimais de números preferenciais (a ISO 266 está ligada à R10). [2]
• Consistência internacional: a IEC 61260-1:2014 especifica base 10 e observa que projetos em base 2 têm menor probabilidade de permanecer conformes longe da frequência de referência. [1]

Em base 10, um terço de oitava corresponde a 10^(1/10) ≈ 1,258925 (também interpretável como 1/10 de década), o que produz um mapeamento simples: 10 bandas de terço de oitava por década.

"10 bandas de terço de oitava = 1 década": porque é que isto importa

Com espaçamento de terço de oitava em base 10, cada passo multiplica a frequência por r = 10^(1/10). Logo:

• 10 bandas consecutivas de 1/3 de oitava multiplicam a frequência exatamente por 10 (uma década).
• Isto corresponde às convenções ISO 266/R10 e simplifica tabelas, gráficos e comunicação.
• A normalização valoriza a legibilidade e a consistência tanto quanto a pureza matemática bruta.

Figura 3: Espaçamento de terço de oitava em base 10 - 10 passos de razão igual por década (×10 em frequência)

ANSI S1.11 / ANSI/ASA S1.11: classes de tolerância e um alerta para sinais transitórios

A ANSI S1.11 (e as versões ANSI/ASA posteriores alinhadas com a IEC 61260-1) especifica requisitos de desempenho para conjuntos de filtros e analisadores, incluindo classes de tolerância (frequentemente classe 0/1/2, dependendo da edição). [3][4]

Um alerta prático nos documentos ANSI: para sinais transitórios, diferentes implementações conformes podem produzir resultados diferentes. [3] Isto realça que a resposta temporal (atraso de grupo, ringing, constantes de tempo de média) é importante para a análise de transitórios.

O que é que a classe / máscara / largura de banda efetiva controlam, na prática?

"Usei bandas de 1/3 de oitava" não diz respeito apenas às bordas nominais das bandas. As normas visam garantir que diferentes instrumentos/algoritmos produzam resultados comparáveis, ao restringir:

• Espaçamento em frequência: sequência de frequências centrais e definições de borda (base 10, exata/nominal, f1/f2).
• Tolerância da resposta em magnitude (máscara): ondulação admissível perto da banda passante e atenuação exigida afastando‑se do centro.
• Consistência de energia para ruído de banda larga: restrições sobre a largura de banda efetiva para que os níveis de banda sejam comparáveis entre implementações.

A largura de banda efetiva é importante porque os filtros reais não são "paredes retangulares" ideais. Para ruído de banda larga, a energia de saída depende de ∫|H(f)|^2 S(f)df. Diferenças na ondulação da banda passante, nas "saias" e no declive podem causar desvios sistemáticos. As normas restringem a largura de banda efetiva para manter tais desvios dentro de limites aceitáveis. [1][3][4]

O alerta relativo a transitórios não é uma contradição: as máscaras limitam principalmente o comportamento em regime estacionário no domínio da frequência, enquanto os transitórios dependem de fase/atraso de grupo, ringing e média temporal. [3]

Matemática: definições de bandas, largura de banda, Q e indexação de bandas

CPB e espaçamento uniforme num eixo logarítmico

CPB é equivalente a espaçamento de largura constante em frequência logarítmica. Se u = log(f), então cada banda cobre um Δu fixo. Muitos espectros (por exemplo, do tipo 1/f) parecem mais suaves e estatisticamente mais estáveis em frequência logarítmica.

Fórmulas de borda de banda a partir da definição de média geométrica (forma geral 1/b)

A IEC define a frequência central como a média geométrica das bordas: fm = sqrt(f1 f2). [1] Para bandas de 1/b de oitava, a razão entre bordas é tipicamente f2/f1 = G^(1/b), onde G é a razão de oitava. Então:

Para terço de oitava em base 10 (b=3): G=10^(3/10). A razão entre centros adjacentes é r = G^(1/3) = 10^(1/10) ≈ 1,258925; o fator multiplicativo das bordas é k = 10^(1/20) ≈ 1,122018.

Fator Q e resolução: a análise por oitavas é uma análise de Q constante

Defina Q = fm / (f2 − f1). Para bandas CPB, Δf = f2 − f1 escala com fm, pelo que Q depende apenas de b e G (não da frequência).

Referência rápida (base 10, fr=1000 Hz):

Fração de oitava	Razão de banda f2/f1	Largura de banda relativa Δf/fm	Q = fm/Δf
1/1	1.995262	0.704592	1.419
1/2	1.412538	0.347107	2.881
1/3	1.258925	0.230768	4.333
1/6	1.122018	0.115193	8.681
1/12	1.059254	0.057573	17.369

Interpretação: para 1/3 de oitava, Q≈4,33 e cada banda tem cerca de 23% de largura relativa ao seu centro. Bandas mais finas (1/6, 1/12) oferecem maior resolução, mas maior variância para ruído aleatório e tipicamente exigem médias mais longas.

Numeração de bandas (índice inteiro) e enumeração por fórmula

As implementações utilizam frequentemente um índice de banda inteiro x. Na IEC, x aparece diretamente na fórmula da frequência central: fm = fr * G^(x/b). [1] Isto fornece uma forma estável de enumerar todas as bandas que cobrem um intervalo de frequência alvo e garante bordas contíguas, consistentes com a norma.

Para base 10:

logo

e pode inverter‑se como

Figura 4: Fator Q para larguras de banda de fração de oitava comuns (definição em base 10)

Dois significados de "1/3 de oitava": base 2 vs. base 10 - não os misture

Alguma literatura usa base 2: centros adjacentes são 2^(1/3). A IEC 61260-1 e grande parte da prática moderna em acústica usam base 10: centros adjacentes são 10^(1/10). Uma verificação rápida: se as frequências centrais nominais forem algo como 1,0k → 1,25k → 1,6k → 2,0k (estilo R10), é provavelmente base 10.

Definição matemática de níveis de banda: da integração da PSD ao relatório em dB

Visão em frequência contínua: integrar a PSD dentro da banda

O nível de banda de oitava é essencialmente a integral da densidade espectral de potência sobre uma banda de frequência. Para a pressão sonora p(t):

Para vibração (velocidade/aceleração), aplica‑se a mesma lógica com unidades e quantidades de referência diferentes.

Ponto chave: como o dB é logarítmico, qualquer soma ou média deve ser efetuada primeiro no domínio linear de potência/média quadrática.

Duas implementações discretas: RMS de banco de filtros vs. agregação de bins de FFT/PSD

Método de banco de filtros: y_b(t)=BandPass_b{x(t)}, depois calcula‑se mean(y_b^2) como média quadrática da banda (opcionalmente com média temporal).

Método de agregação de bins de FFT/PSD: estima‑se S_pp(f) (por exemplo, via periodograma/Welch) e depois integra‑se/somam‑se numericamente os bins dentro de [f1,f2].

Para sinais longos e estacionários, os resultados médios podem ser muito próximos. Para transitórios, varrimentos "sweeps" e eventos curtos, eles frequentemente diferem.

Seja explícito sobre que tipo de espectro tem: magnitude, potência, PSD (e dB/Hz)

• Espectro de magnitude |X(f)|: unidades de amplitude (por exemplo, Pa), útil para tons/harmónicos.
• Espectro de potência |X(f)|²: unidades de média quadrática (Pa²).
• Densidade espectral de potência (PSD): média quadrática por Hz (Pa²/Hz), mais comum para ruído.

Como os níveis de banda de oitava representam a média quadrática / potência da banda, é necessário acabar por integrar/somar em Pa² (ou análogo), independentemente da representação de partida.

Resolução em frequência e espectros de um lado só: Δf, 0..fs/2 e a regra do "×2"

O espaçamento entre bins da FFT é Δf = fs/N. Uma aproximação discreta típica é:

Se utilizar um espectro de um lado só (0..fs/2), para conservar a energia tipicamente multiplica todos os bins que não sejam DC nem Nyquist por 2 (porque a potência de frequência negativa é "dobrada" no lado positivo). Software diferentes tratam estas convenções de maneiras distintas, por isso alinhe as definições antes de comparar resultados.

Correções de janela: ganho coerente (tons) vs. ENBW (ruído) são diferentes

A aplicação de janelas reduz a fuga espectral, mas altera a escala:

• Para amplitude de tons: corrigir pelo ganho coerente (CG), frequentemente CG = sum(w)/N.
• Para ruído/PSD de banda larga: corrigir pela largura de banda equivalente de ruído (ENBW), por exemplo ENBW = fs·sum(w²)/(sum(w))². [9]

O CG controla a amplitude de pico; a ENBW controla a área média do piso de ruído. Os níveis de banda de oitava são estatísticas de energia e são mais sensíveis à ENBW.

Janela	Ganho Coerente (CG)	ENBW (bins)
Retangular	1.000	1.000
Hann	0.500	1.500
Hamming	0.540	1.363
Blackman	0.420	1.727

Ponderação parcial de bins: o que fazer quando as bordas das bandas não se alinham com os bins da FFT

As bordas das bandas raramente calham exatamente nas frequências dos bins. Trate a PSD como aproximadamente constante dentro de cada bin de largura Δf e pondere os bins de fronteira pela fração de sobreposição:

Isto produz níveis de banda mais suaves e fisicamente mais consistentes quando N ou as bordas das bandas mudam.

Figura 5: Esquema de ponderação parcial de bins quando as bordas das bandas não se alinham com os bins da FFT

Uma fórmula unificadora: ambos os métodos calculam ∫|H_b(f)|² S_xx(f) df

Tanto o banco de filtros como a agregação de PSD podem ser escritos como:

A agregação com "paredes retangulares" corresponde a |H_b|² igual a 1 dentro de [f1,f2] e 0 fora. Um filtro verdadeiramente conforme com a norma tem declive roll‑off e ondulação, razão pela qual as normas limitam as máscaras e a largura de banda efetiva.

Agregação de bandas: compor 1 oitava a partir de bandas de 1/3 de oitava e formar níveis totais

Sob partição e contabilização de energia ideais:

• Três bandas de 1/3 de oitava adjacentes podem ser combinadas para aproximar uma banda de oitava completa.
• A soma de todas as energias de banda sobre um intervalo coberto dá a energia total.

Combine sempre no domínio da energia.

Se L_i forem níveis de banda em dB, as energias são E_i = 10^(L_i/10). Então:

A IEC 61260-1 observa que resultados de fração de oitava podem ser combinados para formar níveis de banda mais larga. [1]

Largura de banda efetiva: porque é que as normas a especificam

Os filtros reais não são retângulos ideais. Para ruído branco (PSD constante S0), a média quadrática de saída é:

Para espectros não brancos, como ruído rosa (PSD ~ 1/f), as normas podem definir uma largura de banda efetiva normalizada com ponderação para manter a comparabilidade entre espectros de ruído típicos de engenharia. [1]

Implicação prática: a "agregação rígida" de FFT assume implicitamente um filtro retangular com B_eff = (f2 − f1). Um filtro de oitava conforme tem "saias", pelo que B_eff pode diferir ligeiramente (e por classe). Para fazer corresponder resultados, aproxime |H(f)|² definido pela norma no domínio da frequência ou documente a diferença metodológica.

Porque é que 1/3 de oitava é preferido (trocas entre matemática, perceção e engenharia)

A densidade de informação é "na medida certa": mais fina do que 1 oitava, mais estável do que frações muito finas

Uma única banda de oitava pode ser demasiado grosseira e esconder a forma espectral; frações muito finas (por exemplo, 1/12, 1/24) podem ser instáveis e dispendiosas:

• Maior variância do estimador para ruído aleatório (cada banda capta menos energia).
• Mais computação e maior carga de relatório.
• Com frequência, mais detalhe do que o necessário para regulamentos ou esquemas de classificação.

O terço de oitava é o compromisso clássico: resolução suficiente para insight de engenharia, estabilidade suficiente para medições normalizadas e amplo suporte em instrumentos e software.

Psicoacústica: as bandas críticas em frequências médias são próximas de 1/3 de oitava

Muitas referências de psicoacústica descrevem ~24 bandas críticas ao longo da gama audível e, na região de frequências médias, a largura de banda crítica é frequentemente semelhante à de uma banda de 1/3 de oitava. [7][8] Isto torna o 1/3 de oitava uma representação intermédia natural para problemas ligados ao som percebido, continuando a ser mais normalizada do que as escalas Bark/ERB.

Força motriz de normas/aplicações: muitos fluxos de trabalho exigem E/S em 1/3 de oitava

Quando normas importantes definem entradas/saídas em 1/3 de oitava, os ecossistemas (instrumentos, software, modelos de relatório) convergem em torno disso. Exemplos:

• Índices de acústica de edifícios: a ISO 717-1 faz referência a bandas de terço de oitava para cálculos de grandezas de valor único. [5]
• Parâmetros de acústica de salas (por exemplo, tempo de reverberação) são normalmente reportados em bandas de oitava / terço de oitava (série ISO 3382). [6]

Benefícios adicionais da base 10: tabelas R10, 10 bandas por década, legibilidade

• 10 bandas por década: multiplicar a frequência por 10 corresponde exatamente a 10 passos de terço de oitava (muito limpo para gráficos logarítmicos).
• Números preferenciais R10: 1,00, 1,25, 1,60, 2,00, 2,50, 3,15, 4,00, 5,00, 6,30, 8,00 (×10^n) são amplamente reconhecidos e fáceis de comunicar.
• Comparado com a base 2, o uso de rótulos decimais é menos incómodo e a ambiguidade entre normas é reduzida.

A análise por bandas de oitava é tipicamente implementada usando agregação de bins de FFT ou um banco de filtros. Continue a ler -> Guia de Análise por Bandas de Oitava: Agregação de FFT vs. Banco de Filtros

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Referências

[1] Amostra em PDF da IEC 61260-1:2014 (iTeh): https://cdn.standards.iteh.ai/samples/13383/3c4ae3e762b540cc8111744cb8f0ae8e/IEC-61260-1-2014.pdf

[2] ISO 266:1997, Acústica - Frequências preferenciais (ISO): https://www.iso.org/obp/ui/

[3] PDF de pré-visualização da ANSI S1.11-2004 (ASA/ANSI): https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BS1.11-2004.pdf

[4] Pré-visualização da ANSI/ASA S1.11-2014/Parte 1 / IEC 61260-1:2014: https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BASA%2BS1.11-2014%2BPart%2B1%2BIEC%2B61260-1-2014%2B%28R2019%29.pdf

[5] Resumo da ISO 717-1:2020 (menciona o uso de bandas de terço de oitava): https://www.iso.org/standard/77435.html

[6] Resumo da ISO 3382-2:2008 (parâmetros de acústica de salas): https://www.iso.org/standard/36201.html

[7] Ajuda Ansys: Escala de Bark e bandas críticas (menciona faixa média próxima de terço de oitava): https://ansyshelp.ansys.com/public/Views/Secured/corp/v252/en/Sound_SAS_UG/Sound/UG_SAS/bark_scale_and_critical_bands_179506.html

[8] Simon Fraser University, Sonic Studio Handbook: Critical Band and Critical Bandwidth: https://www.sfu.ca/sonic-studio-webdav/cmns/Handbook5/handbook/Critical_Band.html

[9] MathWorks: exemplo de definição de ENBW: https://www.mathworks.com/help/signal/ref/enbw.html